圖片來源：立場新聞

6月11日，香港三家大學的政改民意調查，指6月3至7日的調查，反對比例首次超過支持比例，媒體隨即形容民意出現「黃金交叉」。同一調查，最近兩輪支持的比例再度領先。

官員，政黨，民間團體，媒體，以及不少市民搶先回應，有時未能仔細閱讀調查設計。有些就因為調查不合心意，質疑民調是否可信。

因為調查只是抽樣，而非普查，樣本統計跟總體（學術名稱是「母體」，population）參數會出現差異。研究員需要嚴格監察民調，減少誤差；如果有誤差，或者樣本有偏頗，研究員需要公開解釋，讓讀者注意。

同理，如果要挑戰研究，可以留意研究裡面各項誤差。

我沒有參與政改民意調查，只能靠公開資料給意見。本文想說的是，「黃金交叉」，或者一直未到。

「黃金交叉」，或者一直未到

媒體引用6月11日的政改民調結果，反對政改方案的有43.0%，首次超越支持的41.7%，於是形容民意出現「黃金交叉」。事實是，黃金交叉，或者，一直未到。

研究機構以至政府也沒有資源，在幾天內進行全港普查，於是只能抽樣本，由樣本推斷市民總體取向。最常用的是電話調查。

調查機構發放樣本資料，指「在95%置信水平（confidence interval）下，各個百分比的抽樣誤差不多於+/-3.0個百分比」。

即是說，調查只能推論，如果進行100次同樣調查，有95次調查，反對政改的比例，是在40.0%至46.0%這個範圍（即是反對方案的43.0%正負3%；同理，支持政改的比例在38.7%至44.7%這個範圍）。這個誤差範圍包含香港市民正反的真正比例。最大機會出現在定點值（43.0%及41.7%）。另外，有5次機會，結果落在這兩段範圍以外。

圖片來源見此。

即使排除那5次「不幸」，因為支持和反對的範圍重疊，真實情況仍可以是支持者佔多。這是黃金交叉可能一直未到的意思。

用射戰做比喻，陳大文射了100支弓箭，有95次中了靶（即是紅心附近），甚至中了紅心，但有5次連靶也射不中。

現實是，我們每段時間只能做一次抽樣調查，所以根本不知道結果有否包括實際比例。我們對於統計結果的信心，是來自於統計學的中央極限定理（central limit theorem）。

在大多數情況下，調查機構只會取一個樣本，而非兩次，更不用說100次。沒有人知道這個樣本所產生的置信區間，是否包含真正平均數。所謂的95%，並不是一個機率值，所以不可以理解為，在此一區間出現真正的平均數的機率是0.95。

用射箭的比喻，這表示我們不可理解為射中紅心的機會是0.95。同理，我們不可理解為，有95%機會，真正總體反對政改方案比率為43.0%，

通俗一點說，置信水平95%的意義，是我們大約有95%的「信心」確定這次調查得到的置信區間，會包含未知的總體真正定點值。在該次政改調查，反對政改的比例，是在40.0%至46.0%這個範圍，而這個範圍包含香港市民正反的真正比例。

如何減少抽樣誤差？

既然說，支持反對的範圍重疊，那麼我們可以減少抽樣誤差？

可以，例如到正負1%。要減少誤差，代價是樣本數目要按比例大幅增加。政改民調的誤差範圍是正負3%，調查需要至少成功找到1,067位市民。如果要減少誤差範圍正負1%，機構就要找到至少9,604位市民。如果再要增加置信水平至99%，即每100次做調查，有99次也包含真正的正反比例，機構就要找到至少16,588位市民。

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這是不可能的，用這次民調為例，幾十位研究助理5天打了42,305個電話，才有1,115個成功樣本。可想而知，要找到10,000位，需要打多少個。

以上說的誤差，是抽樣誤差，無可避免，但可以用方法計出範圍。正如陳電鋸和傅景華指出，「隨機電話抽樣有可能抽到大量只持某種意見的受訪者，也是為何研究要以統計學方法計算誤差範圍（margin of error）」。一項調查，還有幾種誤差，導致樣本不夠代表總體民眾意願：

「干擾因素在電話隨機抽樣調查，可見於年輕與年老人士所持意見可能有所不同。如隨機取樣出現較多年長人士（尤其是以固網電話為主的民調），可能會令總體結果偏向於年長人士意見。一般解決方法是將民調結果根據人口普查的人口結構進行加權處理，減少此類外在干擾因素的影響。

研究偏誤是指研究方法本身會影響民調結果，最常見的就是既定觀點的民調問題（loaded question）。這亦可解釋何以不同機構進行同類民調，會出現不同結果的原因。」

不過，話說回來，如果一份問卷，用相同抽樣方法，問相類似的訪問者，回應率次次相若，結果仍發現支持政改比率下降，那就更能確定總體市民支持率下降。

何時才可說「黃金交叉」無誤？

我問統計朋友，假設統計過程合規，何時才可說「黃金交叉」無誤？他說「反對比例較支持的多出6%，才能肯定支持、反對的置信區間沒重疊吧」。

後記（＋鳴謝）

一直事忙，加上統計知識未到家，到這刻才上載此文，實屬太遲，唯有當作統計補丁。鳴謝幾位統計達人賜教，並幫忙閱讀初稿。文責自負。